长为l、质量为m的均匀绳子,其一端系在竖直转轴,并以角速度w在光滑的水平面上旋转,转动过程中绳子始终伸直,求距转轴r处绳中张力

Question

长为l、质量为m的均匀绳子,其一端系在竖直转轴,并以角速度w在光滑的水平面上旋转,转动过程中绳子始终伸直,求距转轴r处绳中张力

Answer 1

在距转轴r处取一段微元 dr
(该微元从 r 到 r+dr.也就是说 r 位置 与 r+dr位置相比,r 位置更靠近转轴)
在 r位置处,张力为 T,张力指向转轴
在 r+dr位置处,张力为 T + dT,张力方向背离转轴
因此微元所受到的合力为
F = T - (T+dT) = -dT （F 指向转轴）
（附录说明：绳子重力与光滑平面的支持力已经相互平衡）
则
-dT = dm * r * w^2
其中 dm = (m/l)*dr
-dT = (m/l) * w^2 * r * dr
两端作不定积分
-∫dT = ∫(m/l) * w^2 * r * dr
T（r) = -(m/l) * w^2 * r^2/2 + 常数
利用 r = l 时 T(r=l) = 0 确定 常数
0 = -(m/l) * w^2 * l^2/2 + 常数
常数 = (m/l) * w^2 * l^2/2
因此
T(r) = (m/l) * w^2 * (l^2 - r^2)/2
(^2 表示平方）