如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|+|CD|=487．求直

Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(1)/(2)，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．
（1）求椭圆的方程；
（2）若|AB|+|CD|=(48)/(7)．求直线AB的方程．

Answer 1

（1）由题意知e＝(c)/(a)＝(1)/(2)，2a=4，又a²=b²+c²，解得：a＝2，b＝√(3)，所以椭圆方程为：(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．--------（6分）
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知|AB|+|CD|=7，不满足条件；
②当两弦斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
则直线CD的方程为y＝−(1)/(k)(x−1)．
将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3-4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x1+x2＝(8k2)/(3+4k2)，x1•x2＝(4k2−12)/(3+4k2)，所以|AB|＝√(k2+1)|x1−x2|＝(12(k2+1))/(3+4k2)．
同理，|CD|＝(12((1)/(k2)+1))/(3+(4)/(k2))＝(12(k2+1))/(3k2+4)．
所以|AB|+|CD|＝(12(k2+1))/(3+4k2)+(12(k2+1))/(3k2+4)=

作业帮用户 2017-10-28

问题解析

（1）e＝(c)/(a)＝(1)/(2)，2a=4，又a²=b²+c²，解得：a＝2，b＝√(3)，即可求出椭圆的方程；
（2）分类讨论，将直线AB，CD方程代入椭圆方程中，求出|AB|，|CD|，利用|AB|+|CD|=(48)/(7)，求出k，即可求直线AB的方程．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆非常，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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