一个斜率为√3／2的椭圆焦点在X轴有一条过右交点的直线交椭圆于A.B两点（A在下面）AF=3BF求直线斜率K椭圆离心率是√3/2

Question

一个斜率为√3／2的椭圆 焦点在X轴 有一条过右交点的直线交椭圆于A.B两点 （A在下面）
AF=3BF 求直线斜率K
椭圆离心率是√3/2

Answer 1

e=√3／2,焦点坐标(√3a/2,0),过焦点的直线方程为：y=kx-√3ak/2,(a²-b²)/a²=3/4,a²=4b²,椭圆方程为：x²/a²+4y²/a²=1,解得：x1+x2=4√3ak²/(1+4k²),x1x2=(3a²k²-a²)/(1+4k²),(x1-x2)²=(4a²+4a²k²)/(1+4k²)²,y1+y2=-√3ak/(1+4k²),y1y2=-a²k²/4(1+4k²),(y1-y2)²=4a²k²(1+k²)/(1+4k²)²,AB=(2a+2ak²)/(1+4k²),AB的中点坐标[2√3ak²/(1+4k²),-√3ak/2(1+4k²)],AF=3AB/4,焦点到中点的距离=3AB/4-AB/2=AB/4,则(√3a/2-2√3ak²/(1+4k²)²+3a²k²/4(1+4k²)²=(2a+2ak²)²/16(1+4k²)²,(k²-2)(k²+1)=0,取k²=2,k=±√2.