积分求旋转体的体积当遇到两函数相交的部分是分开积分求体积差.什么时候是用两函数相减再积分?区别?

Question

积分求旋转体的体积
当遇到两函数相交的部分是分开积分求体积差.什么时候是用两函数相减再积分?区别?

Answer 1

例如考虑y=f(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴旋转一周的体积公式为V=∫[a,b] πf²(x)dx
所以由y=f(x),y=g(x)在x=a,x=b围成的区域绕x轴一周的体积公式为V=∫[a,b] [πf²(x)-πg²(x)d]x,假设
f(x)≥g(x)
而在计算这种体积的时候一般不能用∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算
拿个最简单的例子来讲
f(x)=2,g(x)=1跟x=1,x=2为成的区域绕x轴旋转一周的体积计算中,所形成的立体是个去心圆柱.
∫[1,2] πf²(x)dx表示底面半径为2,高为1的圆柱体体积,
∫[1,2] πg²(x)dx表示底面半径为1,高为1的圆柱体体积,
V=∫[1,2] [πf²(x)-πg²(x)d]x表示所求的去心圆柱的体积
而∫[1,2] π[f(x)-g(x)]²dx=∫[1,2] π1²dx表示的是底面半径为1,高为1的圆柱体积,
此时f(x)-g(x)形成了一个新的曲线,它到x轴的距离刚好和f(x)与g(x)的距离一致!
而∫[a,b] π[f(x)-g(x)]²dx计算的刚好是这条新的曲线绕x轴一周的旋转体体积!
显然,两种方法计算出来的旋转体是完全不一样的!