半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（π4<θ<3π4），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，直线l：x=a+2ty=a+22t（t为参数）．（1）求半圆C的标准方程和直线l的普通方程；（2）若

Question

半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（(π)/(4)<θ<(3π)/(4)），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，直线l：

x=a+√(2)t

y=a+(√(2))/(2)t

（t为参数）．
（1）求半圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C有且只有2个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（(π)/(4)<θ<(3π)/(4)），
即ρ²=4ρsinθ，化为x²+y²=4y，平方为x²+（y-2）²=4（2≤y≤4）．
直线l：

x=a+√(2)t

y=a+(√(2))/(2)t

（t为参数），消去参数t化为普通方程：x-2y+a=0．
（2）如图所示，直线l经过点（-2，2）时，即-2-2×2+a=0，
解得a=6时，直线与圆有两个交点．
当直线与半圆相切时，(|-4+a|)/(√(5))=2，解得a=4±2√(5)，取a=4+2√(5)．
∴当6≤a<4+2√(5)时，直线l与曲线C有且只有2个公共点．
∴实数a的取值范围是[6，4+2√(5))．