已知直线l的参数方程为x=tcosφy=-2+tsinφ（t为参数，0≤φ<π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P1，P2．（1）求φ的取值

Question

已知直线l的参数方程为

x=tcosφ

y=-2+tsinφ

（t为参数，0≤φ<π），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=1，l与C交于不同的两点P₁，P₂．
（1）求φ的取值范围；
（2）以φ为参数，求线段P₁P₂中点轨迹的参数方程．

Answer 1

（1）曲线C的极坐标方程为ρ=1，根据ρ²=x²+y²可得曲线C的直角坐标方程为x²+y²=1，
将

x=tcosφ

y=-2+tsinφ

代入x²+y²=1得t²-4tsinφ+3=0（*）
由16sin²φ-12>0，得|sinφ|>(√(3))/(2)，又0≤φ≤π，
∴所求φ的取值范围是((π)/(3)，(2π)/(3))；
（Ⅱ）由（1）中的（*）可知，(t1+t2)/(2)=2sinφ，代入

x=tcosφ

y=-2+tsinφ

中，
整理：得P₁P₂的中点的轨迹方程为

x=sin2φ

y=-1-cos2φ

（φ为参数，(π)/(3)<φ<(2π)/(3)）．
故得线段P₁P₂中点轨迹的参数方程为为

x=sin2φ

y=-1-cos2φ

（φ为参数，(π)/(3)<φ<(2π)/(3)）．