如图，已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．

Question

如图，已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c²，今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

设P的极点坐标为（ρ，θ），
∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，
OM=ρcos（α-θ），PM=ρsin（α-θ），
ON=ρcos（α+θ），PN=ρsin（α+θ），
四边形PMON的面积
S=(1)/(2)OM•PM+(1)/(2)ON•PN=(ρ2)/(2)[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]
依题意，动点P的轨迹的极坐标方程是：
(ρ2)/(2)[cos（α-θ）sin（α-θ）+cos（α+θ）sin（α+θ）]=c²
用倍角公式化简得(ρ2)/(4)[sin2（α-θ）+sin2（α+θ）]=c²
用和差化积公式化简得(ρ2)/(2)sin2αcos2θ=c²
即ρ2cos2θ=(2c2)/(sin2α)．
用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程上式为
ρ2(cos2θ-sin2θ)=(2c2)/(sin2α)．即x2-y2=(2c2)/(sin2α)．
这个方程表示双曲线由题意，
动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分．