在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=31+2cos2θ，点R(22，π4)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）求曲线C的直角坐标方程及点R的直角

Question

在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2=(3)/(1+2cos2θ)，点R(2√(2)，(π)/(4))，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1）求曲线C的直角坐标方程及点R的直角坐标；
（2）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时点P的直角坐标．

Answer 1

（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为(x2)/(1)+(y2)/(3)=1，点R的直角坐标为（2，2），
（2）曲线C的参数方程为

x=cosα

y=sinα

(α为参数，α∈[0，2π）），
设P(cosα，√(3)sinα)，如图，依题意可得：
|PQ|=2-cosα，|QR|=2-√(3)sinα，
∴矩形周长=2|PQ|+2|QR|=4-2cosα+4-2√(3)sinα=8-4sin(α+(π)/(6))，
∴当α=(π)/(3)时，周长的最小值为4，此时，点P的坐标为((1)/(2)，(3)/(2))．