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已知平面直角坐标系xOy中,过点P(-1,-2)的直线l的参数方程为x=-1+tcos45°y=-2+tsin45°(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a
题目详情
已知平面直角坐标系 xOy中,过点 P(-1,-2)的直线 l的参数方程为
(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a(a>0),直线 l与曲线C相交于不同的两点M.N
(Ⅰ)求曲线C和直线 l的普通方程;
(Ⅱ)若|PM|=|MN|,求实数a的值.
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(Ⅰ)求曲线C和直线 l的普通方程;
(Ⅱ)若|PM|=|MN|,求实数a的值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵
(t为参数),
∴直线l的普通方程:x-y-1=0,
∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a(a>0),
∴ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0),
∴曲线C的普通方程:y2=2ax;
(Ⅱ)∵y2=2ax;
∴x≥0,
设直线l上点M、N对应的参数分别为t1,t2,(t1>0,t2>0),
则|PM|=t1,|PN|=t2,
∵|PM|=|MN|,
∴|PM|=
|PN|,
∴t2=2t1,
将
,代人y2=2ax得
t2-2
(a+2)t+4(a+2)=0,
∴t1+t2=2
(a+2),
t1t2=4(a+2),
∵t2=2t1,
∴a=
.
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∴直线l的普通方程:x-y-1=0,
∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a(a>0),
∴ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0),
∴曲线C的普通方程:y2=2ax;
(Ⅱ)∵y2=2ax;
∴x≥0,
设直线l上点M、N对应的参数分别为t1,t2,(t1>0,t2>0),
则|PM|=t1,|PN|=t2,
∵|PM|=|MN|,
∴|PM|=
1 |
2 |
∴t2=2t1,
将
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t2-2
2 |
∴t1+t2=2
2 |
t1t2=4(a+2),
∵t2=2t1,
∴a=
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