已知平面直角坐标系xOy中，过点P（-1，-2）的直线l的参数方程为x=-1+tcos45°y=-2+tsin45°（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ=2a

Question

已知平面直角坐标系 xOy中，过点 P（-1，-2）的直线 l的参数方程为 

x=-1+tcos45°

y=-2+tsin45°

（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a>0），直线 l与曲线C相交于不同的两点M．N
（Ⅰ）求曲线C和直线 l的普通方程；
（Ⅱ）若|PM|=|MN|，求实数a的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵

x=-1+tcos45°

y=-2+tsin45°

（t为参数），
∴直线l的普通方程：x-y-1=0，
∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a>0），
∴ρ²sin²θ=2aρcosθ（a>0），
∴曲线C的普通方程：y²=2ax；
（Ⅱ）∵y²=2ax；
∴x≥0，
设直线l上点M、N对应的参数分别为t₁，t₂，（t₁>0，t₂>0），
则|PM|=t₁，|PN|=t₂，
∵|PM|=|MN|，
∴|PM|=(1)/(2)|PN|，
∴t₂=2t₁，
将

x=-1+tcos45°

y=-2+tsin45°

，代人y²=2ax得
t²-2√(2)（a+2）t+4（a+2）=0，
∴t₁+t₂=2√(2)（a+2），
t₁t₂=4（a+2），
∵t₂=2t₁，
∴a=(1)/(4)．