在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2costy=2sint+a（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2cost

y=2sint+a

（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁和C₂共有四个不同交点，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C₁的普通方程为x²+（y-a）²=4，表示一个以（0，a）为圆心，2为半径的圆；
曲线C₂的极坐标方程可化为ρ²cos²θ=ρsinθ，故对应的直角坐标方程为y=x²．
（Ⅱ）将两方程联立得

x2+(y-a)2=4

y=x2

得y²+（1-2a）y+（a²-4）=0，
由于两方程表示的曲线均关于y轴对称，所以只要关于y的方程有两个大于0的不等实根，
即代表两个曲线有4个不同交点，因此有

a2-4>0

1-2a<0

△=(1-2a)2-4(a2-4)>0

解得2<a<(17)/(4)．