如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．

Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．
求证：（1）直线MN∥平面EBC；
（2）直线EA⊥平面EBC．

Answer 1

证明：（1）取BE中点F，连结CF，MF，
又M是AE的中点，所以MF=(1)/(2)AB，
又N是矩形ABCD边CD的中点，
所以NC=(1)/(2)AB，所以MF平行且等于NC，
所以四边形MNCF是平行四边形，…（4分）
所以MN∥CF，
又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，
所以MN∥平面EBC．…（7分）
（2）在矩形ABCD中，BC⊥AB，
又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB=AB，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面EAB，…（10分）
又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA，
又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，
所以EA⊥平面EBC．…（14分）