（2014•临汾模拟）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1-ADF体积．

Question

（2014•临汾模拟）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3，BC=2，D是BC的中点，F是C₁C上一点．
（1）当CF=2，求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，求三棱锥B₁-ADF体积．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B₁B．
∵BC∩B₁B=B，∴AD⊥平面B₁BCC₁．
∵B₁F⊂平面B₁BCC₁，∴AD⊥B₁F．-------------（3分）
在矩形B₁BCC₁中，∵C₁F=CD=1，B₁C₁=CF=2，
∴Rt△DCF≌Rt△FC₁B₁．
∴∠CFD=∠C₁B₁F．∴∠B₁FD=90°，∴B₁F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B₁F⊥平面ADF．-------------（6分）
（2）∵AD⊥面B₁DF，AD＝2√(2)，
又B1D＝√(10)，CD=1，-------------（8分）
∵FD⊥B₁D，∴Rt△CDF∽Rt△BB₁D，
∴(DF)/(B1D)＝(CD)/(BB1)．
∴DF＝(1)/(3)×√(10)＝(√(10))/(3)-------------（10分）
∴VB1−ADF＝(1)/(3)S△B1DF•AD＝(1)/(3)×(1)/(2)×(√(10))/(3)×

作业帮用户 2017-10-07

问题解析

（1）证明B₁F与两线AD，DF垂直，利用线面垂直的判定定理得出B₁F⊥平面ADF；
（2）若FD⊥B₁D，则Rt△CDF∽Rt△BB₁D，可求DF，即可求三棱锥B₁-ADF体积．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查了用线面垂直的判定定理证明线面垂直，考查三棱锥B₁-ADF体积，属于中档题．

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