（理科）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=π2，D，E分别是AB，BB1的中点，且AC=BC=AA1=2．（1）求直线BC1与A1D所成角的大小；（2）求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值．

Question

（理科）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=(π)/(2)，D，E分别是AB，BB₁的中点，且AC=BC=AA₁=2．
（1）求直线BC₁与A₁D所成角的大小；
（2）求直线A₁E与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

（本小题满分14分）
（理）（1）分别以CA、CB、CC₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系．
则由题意可得：A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），
A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2），
又∵D，E分别是AB，BB₁的中点，
∴D（1，1，0），E（0，2，1）．…（3分）
∴

BC1

＝(0，−2，2)，

A1D

＝(−1，1，−2)，
∴cos〈

BC1

，

A1D

＞＝(BC1•A1D)/(|BC1|•|A1D|)＝(−6)/(2√(2)×√(6))＝−(√(3))/(2)，…（7分）
∴直线BC₁与A₁D所成角的大小为(π)/(6)．…（8分）
（2）设平面A₁CD的一个法向量为

e

＝(x，y，z)，
由

CA1

•

e

＝0

CD

•

e

＝0

，得

2x+2z＝0

x+y＝0

，∴

e

＝(1，−1，−1)，…（10分）
又∵

A1E

＝(−2，2，−1)，
∴cos〈

A1E

，

e

＞＝(A1E•e)/(|A1E|．|e|)＝(−3)/(√(3)×3)＝−(√(3))/(3)，…（13分）
∴直线A₁E与平面A₁CD所成角的正弦值为(√(3))/(3)．…（14分）