如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=a．（1）求证：AD⊥B1D；（2）求证：A1C∥平面AB1D；（3）求点A1到平面AB1D的距离．

Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=a．
（1）求证：AD⊥B₁D；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求点A₁到平面AB₁D的距离．

Answer 1

（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱锥，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD．BB₁∩BD=B，
∴AD⊥平面BB₁D，∴AD⊥B₁D．（4分）
（2）连接DE．AA₁=AB，四边形A₁ABB₁是正方向，∴E是A₁B的中点，又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C，∵DE⊂平面AB₁D，A₁C⊄平面AB₁D，∴A₁C∥平面AB₁D．（8分）
（3）VA1−AB1D＝VB1−A1AD，所以(1)/(3)•(1)/(2)•(√(3))/(2)a•(√(5))/(2)a•d＝(1)/(3)•(1)/(2)•(√(3))/(2)a•a•(a)/(2)，
解得d＝(√(5))/(5)a．（12分）