如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=26，M为A1B1的中点．（Ⅰ）求证：MC⊥AB；（Ⅱ）求三棱锥A1-ABP的体积．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为4正三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁=2√(6)，M为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：MC⊥AB；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABP的体积．

Answer 1

（本小题满分12分）
（I）取AB中点O，连接OM，OC．
∵M为A₁B₁中点，∴MO∥A₁A，又A₁A⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC，
∴MO⊥AB…（2分）
∵△ABC为正三角形，∴AB⊥CO  又MO∩CO=O，∴AB⊥平面OMC
又∵MC⊂平面OMC∴AB⊥MC…（5分）
（Ⅱ）如图，VA1-ABP=VP-A1BA=(1)/(3)S△A1BA•d=(1)/(3)×(1)/(2)AB•AA1•CO
=(1)/(3)×(1)/(2)×4×2√(6)×2√(3)=8√(2)．