如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=22AB，（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）AA1=2，求三棱锥C-A1DE的体积．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=(√(2))/(2)AB，
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）AA₁=2，求三棱锥C-A₁DE的体积．

Answer 1

（1）证明：连结AC₁交A₁C于点G，则F为AC₁的中点，
又D是AB中点，连结DF，则BC₁∥DG，
因为DG⊂平面A₁CD，BC₁⊄平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）因为直棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以AA₁⊥CD，
由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，
又AA₁∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB₁A₁，
设AB=2√(2)，则AA₁=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=√(2)，A₁D=√(6)，DE=√(3)，A₁E=3
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D，
所以V_C-A1DE=(1)/(3)×(1)/(2)×√(6)×√(3)×√(2)=1．