如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D是BC中点，且AA1=AB（1）证明：AD⊥BC1（2）证明：A1C∥平面AB1D．

Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，D是BC中点，且AA₁=AB

（1）证明：AD⊥BC₁
（2）证明：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

证明：（1）∵ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，D是BC中点，AA₁⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，
∴AA₁⊥AD；又AA₁∥BB₁，
∴AD⊥BB₁；
又底面ABC为正三角形，D是BC中点，
∴AD⊥BC，而BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，BC₁⊂平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC₁；
（2））取C₁B₁的中点E，连接A₁E，ED，

则B₁E

∥

.

DC，
∴四边形B₁DCE为平行四边形，于是有B₁D∥EC，又A₁E∥AD，B₁D∩AD=D，A₁E∩EC=E，
∴平面A₁EC∥平面AB₁D，A₁C⊂平面A₁EC，
∴A₁C∥平面AB₁D．