如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上的一点，AM=23AC．（Ⅰ）证明：CB1∥平面A1EM；（Ⅱ）若A1A的长度为2，求三棱锥E-C1A1M的体积．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB₁的中点，M为AC上的一点，

AM

=(2)/(3)

AC

．

（Ⅰ）证明：CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）若A₁A的长度为√(2)，求三棱锥E-C₁A₁M的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，
连接AB₁，交A₁E于点N，连接MN，
∵E为BB₁的中点，∴AN=(2)/(3)AB1，
又

AM

=(2)/(3)

AC

，∴MN∥CB₁，
在△ACB₁中，∵MN∥CB₁，MN⊂面A₁EM，CB₁⊄面A₁EM，
∴CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ） 由AA₁∥BB₁，得VE-C1A1M=VB-C1A1M，
由AA₁⊥面A₁B₁C₁，得AA₁⊥A₁B₁，
又C₁A₁⊥A₁B₁，AA₁∩C₁A₁=A₁，
∴A₁B₁⊥面AA₁C₁C，
∴VB-C1A1M=(1)/(3)•A1B1•S△MA1C1=(1)/(3)×2×(1)/(2)×1×√(2)=(√(2))/(3)．