如图，ABC-A1B1C1是底面边长为2，高为32的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0<λ<1）．（1）证明：PQ∥A1B1；（2）当CF⊥平面ABQP时，在图中作出点C在平面ABQP内的正投

Question

如图，ABC-A₁B₁C₁是底面边长为2，高为(√(3))/(2)的正三棱柱，经过AB的截面与上
底面相交于PQ，设C₁P=λC₁A₁（0<λ<1）．

（1）证明：PQ∥A₁B₁；
（2）当CF⊥平面ABQP时，在图中作出点C在平面ABQP内的正投影F（说明作法及理由），并求四棱锥CABPQ表面积．

Answer 1

证明：（I）∵平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面ABC∩平面ABQP=AB，
平面ABQP∩平面A₁B₁C₁=QP，
∴AB∥PQ，又∵AB∥A₁B₁，∴PQ∥A₁B₁．   （5分）
（Ⅱ）F点是PQ中点，理由如下：
当λ=(1)/(2)时，P，Q分别是A₁C₁，A₁B₁的中点，
连接CQ和CP，∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴CQ=CP，∴CF⊥QP，（6分）
取AB中点H，连接FH，CH，CH=√(3)，
在等腰梯形ABQP中，FH=(√(6))/(2)，
连接CF，则CF=(√(6))/(2)，
∴CF²+FH²=CH²，∴CF⊥FH，
∵QP∩FH=H，∴CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，（9分）
∴F点是C在平面ABQP内的正投影．
∴四棱锥CABPQ表面积：
S=S△CPQ+S△CPA+S△CQB+SPQBA+S△ABC=2√(3)+√(6)．（12分）