如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于、、，已知．(1)求证：⊥平面OAH；

Question

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于、、，已知．
(1)求证：⊥平面OAH；
(2)求二面角的大小．

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Answer 1

【分析】(1)要证B₁C₁⊥平面OAH，直线证明直线垂直平面OAH内的两条相交直线：AH、OA即可；
\n(2)作出二面角O-A₁B₁-C₁的平面角，然后求解即可；或者建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解．

(1)证明：依题设，EF是ΔABC的中位线，所以EF∥BC，
\n则EF∥平面OBC，所以EF∥B₁C₁．
\n又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B₁C₁．
\n因为OA⊥OB，OA⊥OC，
\n所以OA⊥面OBC，则OA⊥B₁C₁，
\n因此B₁C₁⊥面OAH．

\n(2)作ON⊥A₁B₁于N，连C₁N．因为OC₁⊥平面OA₁B₁，
\n根据三垂线定理知，C₁N⊥A₁B₁，∠ONC₁就是二面角O-A₁B₁-C₁的平面角．
\n作EM⊥OB₁于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．
\n设OB₁=x，由得，，解得x=3，
\n在RtΔOA₁B₁中，，则，．
\n所以，故二面角O-A₁B₁-C₁为．
\n解法二：(1)以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
\nO-xyz则
\n所以
\n所以

\n所以BC⊥平面OAH，
\n由EF∥BC得B₁C₁∥BC，故：B₁C₁⊥平面OAH
\n(2)由已知，设B₁(0，0，z)
\n则
\n由与共线得：存在λ∈R有得
\n同理：C₁(0，3，0)，∴
\n设是平面A₁B₁C₁的一个法向量，
\n则令x=2，得y=x=1，∴
\n又是平面OA₁B₁的一个法量∴
\n所以二面角的大小为
\n(3)由(2)知，，B(0，0，2)，平面A₁B₁C₁的一个法向量为．
\n则．
\n则点B到平面A₁B₁C₁的距离为．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．