如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．（1）若∠AOB=45，OM=4，OQ=2，求证：CN⊥OB；（2）当点N在边OB上

Question

如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点 Q，PM∥OB交OA于点M．

（1）若∠AOB=45，OM=4，OQ=2，求证：CN⊥OB；
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问：(1)/(OM)-(1)/(ON)的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；
②设菱形OMPQ的面积为S₁，△NOC的面积为S₂，求(S1)/(S2)的取值范围．

Answer 1

（1）如图1，

过P作PE⊥OA于E，NF⊥OA，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形OMPQ为平行四边形，
∴PM=OQ=√(2)，∠PME=∠AOB=45°，
∴PE=PMsin45°=1，ME=1，
∴CE=OC-OM-ME=1，
∴tan∠PCE=(PE)/(CE)=1，
∴∠PCE=45°，
∴∠CNO=90°，
∴CN⊥OB；
（2）①(1)/(OM)-(1)/(ON)的值不发生变化，
理由：设OM=x，ON=y，
∵四边形OMPQ为菱形，
∴OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，
∵PQ∥OA，
∴∠NQP=∠O，
∵∠QNP=∠ONC，
∴△NQP∽△NOC，
∴(OP)/(OC)=(NQ)/(NO)，
∴(x)/(6)=(y-x)/(y)，
∴6y-6x=xy，
∴(1)/(x)-(1)/(y)=(1)/(6)，
∴(1)/(OM)-(1)/(ON)=(1)/(6)；
②如图2，

过P作PE⊥OA，过N作NF⊥OA，
∴S₁=OM×PE，S₂=(1)/(2)OC×NF，
∴(S1)/(S2)=(xPE)/(3NF)，
∵PM∥OB，
∴∠PMC=∠O∠，
∵∠PCM=∠NCO，
∴△CPM∽△CNO，
∴(PE)/(NF)=(CM)/(CO)=(6-x)/(6)，
∴(S1)/(S2)=(x(6-x))/(18)，
∵0<x<6，
∴0<(S1)/(S2)<(1)/(2)．