如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=π2，AB＝PA＝13AD＝a，cos∠ADC＝25．（Ⅰ）求点D到平面PBC的距离；（Ⅱ）求二面角C-PD-A的正切值．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=(π)/(2)，AB＝PA＝(1)/(3)AD＝a，cos∠ADC＝(2)/(√(5))．
（Ⅰ）求点D到平面PBC的距离；
（Ⅱ）求二面角C-PD-A的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）如图，在四棱锥P-ABCD中，
∵BC∥AD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离．
∵∠ABC=(π)/(2)，∴AB⊥BC，
又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PBC，交线为PB，过A作AE⊥PB，垂足为E，则AE⊥平面PBC，
∴AE的长等于点D到平面PBC的距离．（3分）
而AB=PA=a，∴AE＝(√(2))/(2)a．
即点D到平面PBC的距离为(√(2))/(2)a．（5分）

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥底面ABCD，
引CM⊥AD于M，MN⊥PD于N，则CM⊥平面PAD，
∴MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CN⊥PD，
∴∠CNM是二面角C-PD-A的平面角．（8分）
依题意∠ADC＝arccos(2)/(√(5))，AB＝PA＝(1)/(3)AD＝a，
∴tan∠ADC＝(AB)/(AD−BC)＝(a)/(3a−BC)＝(1)/(2)，∴BC=a，
可知DM＝(2)/(3)AD，∴MN＝(2)/(3)(AD•PA)/(√(AD2+PA2))＝(2)/(3)(3a•a)/(√(9a2+a2))＝√((2)/(5))a，（10分）
tanCMN＝(CM)/(MN)＝(a)/(√((2)/(5))a)＝(√(10))/(2)，∴二面角C-PD-A的正切值为(√(10))/(2)（12分）