如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，P是侧棱AA1上任意一点．（1）求证：B1P不可能与平面ACC1A1垂直；（2）当BC1⊥B1P时，求二面角C-B1P-C1的大小．

Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求证：B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；
（2）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的大小．

Answer 1

（1）证明：连接B₁P，假设B₁P⊥平面ACC₁A₁，则B₁P⊥A₁C₁．
由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，
∴AA₁⊥A₁C₁．
∴A₁C₁⊥侧面ABB₁A₁．
∴A₁C₁⊥A₁B₁，
即∠B₁A₁C₁=90°．
这与△A₁B₁C₁是等边三角形矛盾．
∴B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直．
（2）取A₁B₁的中点D，连接C₁D、BD、BC₁，
则C₁D⊥A₁B₁，又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁D．∴C₁D⊥平面ABB₁A₁．
∴BD是BC₁在平面ABB₁A₁上的射影．
∵BC₁⊥B₁P，∴BD⊥B₁P．∴∠B₁BD=90°-∠BB₁P=∠A₁B₁P．
又A₁B₁=B₁B=2，∴△BB₁D≌△B₁A₁P，A₁P=B₁D=1．∴AP=1．
连接B₁C，交BC₁于点O，则BC₁⊥B₁C．
又BC₁⊥B₁P，∴BC₁⊥平面B₁CP．
过O在平面CPB₁上作OE⊥B₁P，交B₁P于点E，
连接C₁E，则B₁P⊥C₁E，
∴∠OEC₁是二面角C-B₁P-C₁的平面角．
由于CP=B₁P=√(5)，O为B₁C的中点，连接OP，
∴PO⊥B₁C，OP•OB₁=OE•B₁P．∴OE=(√(30))/(5)．
∴tan∠OEC₁=(OC1)/(OE)=(√(15))/(3)．
∴∠OEC₁=arctan(√(15))/(3)．
故二面角C-B₁P-C₁的大小为arctan(√(15))/(3)．