已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积．

Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为 (16)/(3)，则该三棱锥的外接球的表面积___．

Answer 1

根据题意作出图形
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O₁，
则OO₁⊥平面ABC，延长CO₁交球于点D，则PD⊥平面ABC．
∵CO₁=(4√(3))/(3)，
∴OO₁=√(r2-(16)/(3))，
∴高PD=2OO₁=2√(r2-(16)/(3))，
∵△ABC是边长为4正三角形，
∴S_△ABC=(√(3))/(4)×42=4√(3)
∴V_{三棱锥P-ABC}=(1)/(3)×4√(3)×2√(r2-(16)/(3))=(16)/(3)，
∴r²=(20)/(3)．
则球O的表面积为4πr²=(80π)/(3)．
故答案为(80π)/(3)．