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我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边
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我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.
求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.
求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1中,连接BD.
∵点E,H分别为边AB,DA的中点,
∴EH∥BD,EH=
BD,
∵点F,G分别为边BC,CD的中点,
∴FG∥BD,FG=
BD,
∴EH∥FG,EH=GF,
∴中点四边形EFGH是平行四边形.
(2)四边形EFGH是菱形.
证明:如图2中,连接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD,
在△APC和△BPD中,
,
∴△APC≌△BPD,
∴AC=BD
∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,
∴EF=
AC,FG=
BD,
∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是菱形.
(3)四边形EFGH是正方形.
证明:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.
∵△APC≌△BPD,
∴∠ACP=∠BDP,
∵∠DMO=∠CMP,
∴∠COD=∠CPD=90°,
∵EH∥BD,AC∥HG,
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,
∵四边形EFGH是菱形,
∴四边形EFGH是正方形.
∵点E,H分别为边AB,DA的中点,
∴EH∥BD,EH=
1 |
2 |
∵点F,G分别为边BC,CD的中点,
∴FG∥BD,FG=
1 |
2 |
∴EH∥FG,EH=GF,
∴中点四边形EFGH是平行四边形.
(2)四边形EFGH是菱形.
证明:如图2中,连接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD,
在△APC和△BPD中,
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∴△APC≌△BPD,
∴AC=BD
∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,
∴EF=
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∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是菱形.
(3)四边形EFGH是正方形.
证明:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N.
∵△APC≌△BPD,
∴∠ACP=∠BDP,
∵∠DMO=∠CMP,
∴∠COD=∠CPD=90°,
∵EH∥BD,AC∥HG,
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,
∵四边形EFGH是菱形,
∴四边形EFGH是正方形.
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