（2014•四川模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定

Question

（2014•四川模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的
中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试
确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出(PM)/(PC)的值．

Answer 1

（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（6分）
（ II）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图．
则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，√(3)），B（0，√(3)，0），C（-2，√(3)，0），
设

PM

＝λ

PC

（0＜λ＜1），则M(−2λ，√(3)λ，√(3)(1−λ))，
平面CBQ的一个法向量是

n1

=（0，0，1），
设平面MQB的一个法向量为

作业帮用户 2016-11-30

问题解析

（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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