（2014•金山区一模）如图，在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱

Question

（2014•金山区一模）如图，在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PAC的体积．若f(M)＝((1)/(2)，2x，y)，且(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，则正实数a的最小值是

6−4√(2)

6−4√(2)

．

Answer 1

在三棱锥P-ABC中PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=1．
∴VP−ABC＝(1)/(3)SPAB•PC=(1)/(3)×(1)/(2)×3×2×1=1．
∴(1)/(2)+2x+y＝1，化为4x+2y=1．
∵a＞0，x＞0，y＞0．
∴(1)/(x)+(a)/(y)=(4x+2y)((1)/(x)+(a)/(y))=4+2a+(2y)/(x)+(4ax)/(y)≥4+2a+2√((2y)/(x)×(4ax)/(y))=4+2a+4√(2a)，当且仅当y＝2√(a)x取等号．
又(1)/(x)+(a)/(y)≥8恒成立，∴4+2a+4√(2a)≥8，解得a≥6−4√(2)．
故a的最小值是

作业帮用户 2017-10-04