如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；（Ⅱ）（只文科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的

Question

如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；
（Ⅱ）（只文科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积；
（只理科生做）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角P-NB-M的平面角的正切值．

Answer 1

证明：（ I）PA=PD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴BN⊥AD，
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PNB．
（ II）（文科）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2
∴PN＝NB＝√(3)，
∴S△PNB＝(3)/(2)
又BC⊥平面PNB，PM=2MC，
∴VP−NBM＝VM−PNB＝(2)/(3)VC−PNB＝(2)/(3)•(1)/(3)•(1)/(2)•√(3)•√(3)•2＝(2)/(3)．
（理科）作ME∥BC交PB于E点，作EF⊥NB于F点，连结MF．
∵BC⊥平面PNB，
∴ME⊥平面PNB，EF是MF在平面PNB上的射影
∴MF⊥BN，
∴∠MFE是二面角P-NB-M的平面角，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2∴PN＝√(3)，
在△PBC中可知ME＝(2)/(3)BC＝(4)/(3)，
在△PNB中EF＝(1)/(3)PN＝(√(3))/(3)
∴tan∠MFE＝(4√(3))/(3)．