如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）设O，D分别为AC，AP的中点，点G为△OAB内一点，且满足OG＝13(OA+OB)，求证：DG∥面PBC；（Ⅲ）若AB=AC=2，PA=4，求二面角A-P

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）设O，D分别为AC，AP的中点，点G为△OAB内一点，且满足

OG

＝(1)/(3)(

OA

+

OB

)，求证：DG∥面PBC；
（Ⅲ）若AB=AC=2，PA=4，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以PA⊥AC．
又因为AB⊥AC，且PA∩AB=A，
所以AC⊥平面PAB．
又因为PB⊂平面PAB，
所以AC⊥PB．…（4分）
（Ⅱ）证法1：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．
又因为AB⊥AC，所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设AC=2a，AB=b，PA=2c，
则A（0，0，0），B（0，b，0），C（2a，0，0），
P（0，0，2c），D（0，0，c），O（a，0，0）．
又因为

OG

＝(1)/(3)(

OA

+

OB

)，
所以G((a)/(3)，(b)/(3)，0)．
于是

DG

＝((a)/(3)，(b)/(3)，−c)，

BC

＝(2a，−b，0)，

PB

＝(0，b，−2c)．
设平面PBC的一个法向量

n

=（x₀，y₀，z₀），则有

作业帮用户 2017-10-25

问题解析

（Ⅰ）由已知条件推导出PA⊥AC，AB⊥AC，由此能证明AC⊥平面PAB，从而得到AC⊥PB．
（Ⅱ）法1：建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明DG∥平面PBC．
法2：取AB中点E，连OE，则点G在OE上．连结AG并延长交CB于F，连PF，由已知条件推导出DG∥PF，由此能证明DG∥平面PBC．
（Ⅲ）分别求出平面PBC的一个法向量和面PAB的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评：

本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议