棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1求四棱锥A1-EBFD1的体积

Question

棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1
求四棱锥A1-EBFD1的体积

Answer 1

法一：∵EB=BF=FD1=D1E= a2+(a2)2= 52a,
∴四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形．（2分）
连接A1C1、EF、BD1,则A1C1∥EF．
根据直线和平面平行的判定定理,A1C1平行于A1-EBFD1的底面,
从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1-EBFD1的高（4分）
设G、H分别是A1C1、EF的中点,连接D1G、GH,则FH⊥HG,FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理,有FH⊥平面HGD1,
又,四棱锥A1-EBFD1的底面过FH,根据两平面垂直的判定定理,
有A1-EBFD1的底面⊥平面HGD1．作GK⊥HD1于K,
根据两平面垂直的性质定理,有GK垂直于A1-EBFD1的底面．（6分）
∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴∠HGD1=90°．
在Rt△HGD1内,GD1= 22a,HG= 12a,HD1= BD12= 32a．
∴ 32a•GK= 12a• 22a,从而GK= 66a．（8分）
∴ VA1-EBFD1= 13S菱形EBFD1•GK= 13• 12•EF•BD1•GK
= 16• 2a• 3a• 66a= 16a3（10分）
解法二∵EB=BF=FD1=D1E= a2+(a2)2= 52a,
∴四菱锥A1-EBFD1的底面是菱形．（2分）
连接EF,则△EFB≌△EFD1．
∵三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,
∴ VA1-EFB=VA1-EFD1．
∴ VA1-EBFD1=2VA1-EFB．（4分）
又 VA1-EFB=VF-EBA1,
∴ VA1-EBFD1=2VF-EBA1,（6分）
∵CC1∥平面ABB1A1,
∴三棱锥F-EBA1的高就是CC1到
平面ABB1A1的距离,即棱长a．（8分）
又△EBA1边EA1上的高为a．
∴ VA1-EBFD1=2• 13• S△EBA1•a= 16a3．（10分）