如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，∠BAC=∠BC1C=90°，A1C1=a，C1B=2a．（I）求证AB⊥平面AA1C1C；（II）求证C1C⊥平面ABC1；（III）求AC与BC1所成的角．

Question

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，∠BAC=∠BC₁C=90°，A₁C₁=a，C₁B=2a．
（I）求证AB⊥平面AA₁C₁C；
（II）求证C₁C⊥平面ABC₁；
（III）求AC与BC₁所成的角．

Answer 1

（I）∵侧棱AA₁⊥平面ABC，
AB⊂平面ABC，∴AA₁⊥AB，
又∵∠BAC=90°∴AB⊥AC，
AA₁∩AC=A，
从而AB⊥平面AA₁C₁C…（4分）
（II）由（I）可知AB⊥平面AA₁C₁C，C₁C⊂平面AA₁C₁C，
∴C₁C⊥AB
又∵C₁C⊥BC₁并且AB∩BC₁=B，
∴C₁C⊥平面ABC₁…（8分）
（III）连接A₁B，∵AC∥A₁C₁∴AC与BC₁所成的角是∠BC₁A₁（或它的补角）
∵A₁C₁⊥A₁B₁，A₁C₁⊥A₁A，，A₁A∩A₁B₁=A₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁
∵BA₁⊂平面A₁ABB₁∴A₁C₁⊥A₁B
在直角三角形A₁C₁B中，A₁C₁=a，C₁B=2a
∠BC₁A₁=60°
即  异面直线AC与BC₁所成的角为60°…（15分）