已知四棱台ABCD-A1B1C1D1（如图）中，底面ABCD是正方形，且DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a．（1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；（2）试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1．

Question

已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁（如图）中，底面ABCD是正方形，且DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a．
（1）求异面直线AB₁与DD₁所成角的余弦值；
（2）试在平面ADD₁A₁中确定一个点F，使得FB₁⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

以D为原点，DA、DC、DD₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2a，0，0），B₁（a，a，a），D₁（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C₁（0，a，a）
（1）∵

AB1

=（-a，a，a），

DD1

=（0，0，a），
∴cos＜

AB

1，

DD1

＞＝(AB1•DD1)/(AB1•DD1)＝

a<

作业帮用户 2017-10-18

问题解析

（1）以D为原点，DA、DC、DD₁所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两条直线所对应的方向向量，求出异面直线所成的角．
（2）设出点F的坐标，根据线面FB₁⊥平面BCC₁B₁得到两对向量的数量积等于0，得到关于所设的未知量的方程，解方程即可．

名师点评

本题考点：

向量语言表述线面的垂直、平行关系；异面直线及其所成的角．

考点点评：

本题考查用向量语言来表示线面的平行和垂直关系，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导变化成了数字的运算，降低了题目的难度．

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