如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=a，AB=2a，AA1=2a，E，F分别是AD，AB的中点．（1）求证：平面EFB1D1∥平面BDC1；（2）求证：A1C⊥平面BDC1．

Question

如图，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a，AB=2a，AA₁=√(2)a，E，F分别是AD，AB的中点．

（1）求证：平面EFB₁D₁∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接A₁C₁，AC，分别交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，连接MN，C₁P，
由题意，BD∥B₁D₁，
因为BD⊄平面EFB₁D₁，B₁D₁⊂平面EFB₁D₁，所以BD∥平面EFB₁D₁…（3分）又因为A₁B₁=a，AB=2a，所以MC1=(1)/(2)A1C1=(√(2))/(2)a，
又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以NP=(1)/(4)AC=(√(2))/(2)a，
所以MC₁=NP，
又因为AC∥A₁C₁，所以MC₁∥NP，
所以四边形MC₁PN为平行四边形，
所以PC₁∥MN；
因为PC₁⊄平面EFB₁D₁，MN⊂平面EFB₁D₁，所以PC₁∥平面EFB₁D₁，
因为PC₁∩BD=P，所以平面EFB₁D₁∥平面BDC₁…（6分）
（Ⅱ）连接A₁P，因为A₁C₁∥PC，A₁C₁=PC=√(2)a，

所以四边形A₁C₁CP为平行四边形，
因为CC₁=AA₁=PC=√(2)a，所以四边形A₁C₁CP为菱形，
所以A₁C⊥PC₁…（9分）
因为MP⊥平面ABCD，MP⊂平面A₁C₁CA，
所以平面A₁C₁CA⊥平面ABCD；
因为BD⊥AC，所以BD⊥平面A₁C₁CA，
因为A₁C⊂平面A₁C₁CA，所以BD⊥A₁C，
因为PC₁∩BD=P，所以A₁C⊥平面BDC₁．…（12分）