如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，DD1=AD=2，A1B1=1，C1E∥平面ADD1A1．（Ⅰ）证明：E为AB的中点；（Ⅱ）求点E到平面ADC1的距离．

Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，DD₁=AD=2，A₁B₁=1，C₁E∥平面ADD₁A₁．

（Ⅰ）证明：E为AB的中点；
（Ⅱ）求点E到平面ADC₁的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AD₁，则D₁C₁∥DC∥AB，
∴A、E、C₁、D₁四点共面，
∵C₁E∥平面ADD₁A₁，则C₁E∥AD₁，
∴AEC₁D₁为平行四边形，
∴AE=D₁C₁=1，∴E为AB的中点．（6分）
（Ⅱ） V C1_-ADE=(1)/(3)DD₁×(1)/(2)AE×AD=(1)/(3)×2×(1)/(2)×2×1=(2)/(3)，DC₁=√(5)，
∵AD⊥DC，AD⊥DD₁，∴AD⊥平面DCC₁D₁，AD⊥DC₁．
设点E到平面ADC₁的距离为h，
则V c1_-ADE=(2)/(3)=V_E-AD c1=(1)/(3)h×(1)/(2)AD×DC₁=(√(5))/(3)h，解得h=(2√(5))/(5)．（13分）