一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为．

Question

一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为______．

Answer 1

设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，
则圆锥的高H=R•cotθ
圆锥的体积，V₁=(1)/(3)πR2H=(1)/(3)πR3cotθ
∵半球的体积V₂=(1)/(2)×(4)/(3)πR3＝(2)/(3)πR3，且V₁=V₂
∴(1)/(3)πR3cotθ=(2)/(3)πR3，解得cotθ=(cosθ)/(sinθ)=2，
结合sin²θ+cos²θ=1，解得sinθ=(√(5))/(5)．
故答案为：(√(5))/(5)