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曲面x^2+y^2=az将球体x^2+y^2+z^2
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曲面x^2+y^2=az将球体x^2+y^2+z^2
▼优质解答
答案和解析
两曲面交线方程是x^2+y^2=az,x^2+y^2+z^2=4az,即x^2+y^2=3a^2,z=3a.它在xoy面上的投影是
x^2+y^2=3a^2,区域D:x^2+y^2≤3a^2.
交线把球面分为上下两部分,上方部分的方程是z=2a+√(4a^2-x^2-y^2)(3a≤z≤4a).
上面一部分球面与曲面围成的立体的体积是
∫∫(D) (2a+√(4a^2-x^2-y^2)-(x^2+y^2)/a)dxdy
=∫(0到2π)dθ∫(0到√3a) (2a+√(4a^2-ρ^2)-ρ^2/a)ρdρ
=2π∫(0到√3a) (2a+√(4a^2-ρ^2)-ρ^2/a)ρdρ
=47πa^3/6.
球体的总体积是4/3×π×8a^3=32πa^3/3
所以,下面一部分球面与曲面围成的体积是32πa^3/3-47πa^3/6=17πa^3/6.
所以球体的两部分体积之比是47:17.
x^2+y^2=3a^2,区域D:x^2+y^2≤3a^2.
交线把球面分为上下两部分,上方部分的方程是z=2a+√(4a^2-x^2-y^2)(3a≤z≤4a).
上面一部分球面与曲面围成的立体的体积是
∫∫(D) (2a+√(4a^2-x^2-y^2)-(x^2+y^2)/a)dxdy
=∫(0到2π)dθ∫(0到√3a) (2a+√(4a^2-ρ^2)-ρ^2/a)ρdρ
=2π∫(0到√3a) (2a+√(4a^2-ρ^2)-ρ^2/a)ρdρ
=47πa^3/6.
球体的总体积是4/3×π×8a^3=32πa^3/3
所以,下面一部分球面与曲面围成的体积是32πa^3/3-47πa^3/6=17πa^3/6.
所以球体的两部分体积之比是47:17.
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