圆x2+（y-b）2=a2（0＜a＜b）绕x轴旋转一周所生成的形如车胎的体积为．

Question

圆x²+（y-b）²=a²（0＜a＜b）绕x轴旋转一周所生成的形如车胎的体积为______．

Answer 1

由题意，所求车胎的体积V，是圆x²+（y-b）²=a²（0＜a＜b）在第一象限的部分绕绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积V₁的2倍
而圆x²+（y-b）²=a²（0＜a＜b）在第一象限且处于直线y=b之上的曲线方程为：y1＝b+√(a2−x2)，处于直线y=b之下的曲线方程为：y2＝b−√(a2−x2)，
∴V1＝π

∫

a 0

(y12−y22)dy=4πb

∫

a 0

√(a2−x2)dx（令x=asint，）
=4πb•(a2)/(2)

∫

(π)/(2) 0

(1+cos2t)dt
=4πb•(a2)/(2)(t+(1)/(2)sin2t)

|

(π)/(2) 0

＝π2a2b
∴所求体积为V=2π²a²b