函数f(x)=a/xlna/x(a>0)的单调区间,机制,凸性,拐点?a/x=x分之a

Question

函数f(x)=a/xln a/x(a>0)的单调区间,机制,凸性,拐点?
a/x=x分之a

Answer 1

f(x)=a/xln(a/x)
f'(x)=-a/x²*ln(a/x)+a/x*x/a*(-a/x²)
=-a/x²ln(x/a)-a/x²
=(-a/x²)[ln(a/x)+1]
令f'(x)=0得ln(x/a)+1=0
解得a/x=1/e,x=ae
∴00
∴f(x)递增区间(0,ae),递减区间(ae,+∞)
∴x=ae为极小值点,极小值为f(ae)=1/e*ln(ae)
f''(x)=2a/x³*[ln(a/x)+1]-a/x²*x/a*(-a/x²)
=2a/x³*[ln(a/x)+1]+a/x³
=a/x³[2ln(a/x)+3]
f''(x)>0即2n(a/x)+3>0
解得ln(a/x)>-3/2=lne^(-3/2)
∴a/x>e^(-3/2)
∴x