fx在点x0的某一领域内有4阶连续导数,若f'x0=f''x=f'''x=0,而f''''x0不等于0.问X0是否为极值点?(x0,f(x0))是否为拐点?关键是是否为极值点,请给予详细的证明.

Question

fx在点x0的某一领域内有4阶连续导数,若f'x0=f''x=f'''x=0,而f''''x0不等于0.
问X0是否为极值点?(x0,f(x0))是否为拐点?
关键是是否为极值点,请给予详细的证明.

Answer 1

前三阶都为0,第四阶不为0,则它必为极值点.
其实用泰勒展开式即可得到.
在此点x0处展开成泰勒公式：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)^2/2!+...+f“”(x0)(x-x0)^4/4!+h, h为余项
=f(x0)+f""(x0)(x-x0)^4+h
在x0的邻域,若f""(x0)>0, 则f(x)>f(x0), 因此x0为极小值点
若f""(x0)