（2005•陕西）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．1）求证AB⊥面VAD；2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

Question

（2005•陕西）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
1）求证AB⊥面VAD；
2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

Answer 1

证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，
则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．
（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．
设正方形ABCD的边长为a，
则在Rt△ABF中，AB=a，AF=(√(3))/(2)a，tan∠AFB=(AB)/(AF)＝(a)/((√(3))/(2)a)＝(2√(3))/(3)
故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为arctan(2√(3))/(3)．