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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的大小;(Ⅲ)

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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC.

(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又∵∠BCA=90°,∴AC⊥BC.
∵PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.…(4分)
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE∥BC,
∴DE=
1
2
BC,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,…(6分)
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴AD=
1
2
AB,
∴在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=
1
2
AB.
∴在Rt△ADE中,sin∠DAE=
DE
AD
=
BC
2AD
=
2
4

∴AD与平面PAC所成的角的大小arcsin
2
4
.…(8分)
(Ⅲ)∵DE∥BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角,…(10分)
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°.
∴在棱PC上存在一点E,
使得AE⊥PC,这时∠AEP=90°,
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角.…(12分)