在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：BC⊥平面PBD；（3）若直线PB与底面ABCD所成角为45°，求线

Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PBD；
（3）若直线PB与底面ABCD所成角为45°，求线段PD的长（此问只需写出答案，无需写过程）．

Answer 1

（1）取PD的中点F，连结EF，AF，
∵E为PC中点，∴EF∥CD，且EF＝(1)/(2)CD＝1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD中点M，连结BM，可知△BMC为直角三角形且BM=MC=1，∴BC＝√(2)，
在△ABD中，可知BD＝√(2)，∴CD²=BD²+BC²，∴BC⊥BD．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（3）∵PD⊥底面ABCD，∴∠PBD是斜线PB与平面ABCD所成的线面角．
可知∠PBD=45°，由（2）可知：BD=√(2)．
∴PD=BD=√(2)．