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如图,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,且SD=AD=2AB,E是SA的中点.(1)求证:平面BED⊥平面SAB;(2)求直线SA与平面BED所成角的大小.
题目详情
如图,在四棱锥S-ABCD中,SD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,且SD=AD=
AB,E是SA的中点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/10dfa9ec8a1363273d583e82928fa0ec09fac7ce.jpg)
(1)求证:平面BED⊥平面SAB;
(2)求直线SA与平面BED所成角的大小.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/10dfa9ec8a1363273d583e82928fa0ec09fac7ce.jpg)
(1)求证:平面BED⊥平面SAB;
(2)求直线SA与平面BED所成角的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵SD⊥平面ABCD,SD⊂平面SAD
∴平面SAD⊥平面ABCD,
∵AB⊥AD,平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD,
∵DE⊂平面SAD
∴DE⊥AB.…(3分)
∵SD=AD,E是SA的中点,∴DE⊥SA,
∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB.…(6分)
(2)![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e1fe9925bc315c60fb0c975e8eb1cb13485477e2.jpg)
作AF⊥BE,垂足为F.
由(1),平面BED⊥平面SAB,则AF⊥平面BED,所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角.…(8分)
设AD=2a,则AB=
a,SA=2
a,AE=
a,△ABE是等腰直角三角形,则AF=a.
在Rt△AFE中,sin∠AEF=
=
,∴∠AEF=45°
故直线SA与平面BED所成角的大小45°.…(12分)
∴平面SAD⊥平面ABCD,
∵AB⊥AD,平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD,
∵DE⊂平面SAD
∴DE⊥AB.…(3分)
∵SD=AD,E是SA的中点,∴DE⊥SA,
∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB.…(6分)
(2)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/e1fe9925bc315c60fb0c975e8eb1cb13485477e2.jpg)
作AF⊥BE,垂足为F.
由(1),平面BED⊥平面SAB,则AF⊥平面BED,所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角.…(8分)
设AD=2a,则AB=
2 |
2 |
2 |
在Rt△AFE中,sin∠AEF=
AF |
AE |
| ||
2 |
故直线SA与平面BED所成角的大小45°.…(12分)
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