如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝2AB，E是SA的中点．（1）求证：平面BED⊥平面SAB；（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD＝AD＝√(2)AB，E是SA的中点．

（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

Answer 1

（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD
∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD，
∵DE⊂平面SAD
∴DE⊥AB．…（3分）
∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）
（2）
作AF⊥BE，垂足为F．
由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．…（8分）
设AD=2a，则AB=√(2)a，SA=2√(2)a，AE=√(2)a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF=(AF)/(AE)=(√(2))/(2)，∴∠AEF=45°
故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…（12分）