如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA1，E是BC的中点，（Ⅰ）求证：AE⊥B1C；（Ⅱ）求异面直线AE与A1C所成的角；（Ⅲ）若G为C1C的中点，求二面角C-AG-E的正切

Question

如图，在三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 中，BB ₁ ⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA ₁ ，E是BC的中点，
（Ⅰ）求证：AE⊥B ₁ C；
（Ⅱ）求异面直线AE与A ₁ C所成的角；
（Ⅲ）若G为C ₁ C的中点，求二面角C-AG-E的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）因为BB ₁ ⊥面ABC，AE 面ABC，
所以AE⊥BB ₁ ，
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC，
∵BC∩BB ₁ =B，
∴AE⊥面BB ₁ C ₁ C，
∴AE⊥B ₁ C；
（Ⅱ）取B ₁ C ₁ 的中点E ₁ ，连接A ₁ E ₁ ，E ₁ C，
则AE∥A ₁ E ₁ ，
∴∠E ₁ A ₁ C是异面直线AE与A ₁ C所成的角，
设AC=AB=AA ₁ =2a，
则 ， ，
∴ ，
∵在△A ₁ E ₁ C中， ，
所以异面直线AE与A ₁ C所成的角为 ；
（Ⅲ）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连接EP，EQ，
则EP⊥AC，
又∵平面ABC⊥平面ACC ₁ A ₁ ，
∴EP⊥平面ACC ₁ A ₁ ，而PQ⊥AG，
∴EQ⊥AG，
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角，
由EP=a，AP=a， ，得 ，
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是 。