如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是．（把你认为正确的结论都填上）①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是2

Question

如图，ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 为正方体，下面结论中正确的是______．（把你认为正确的结论都填上）
①BD ∥ 平面CB ₁ D ₁ ；
②AC ₁ ⊥平面CB ₁ D ₁ ；
③AC ₁ 与底面ABCD所成角的正切值是

2

；
④二面角C-B ₁ D ₁ -C ₁ 的正切值是

2

；
⑤过点A ₁ 与异面直线AD与CB ₁ 成70°角的直线有2条．

Answer 1

如图，正方体ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，
由于BD ∥ B ₁ D ₁ ，由直线和平面平行的判定定理可得BD ∥ 平面CB ₁ D ₁ ，故①正确．
由正方体的性质可得B ₁ D ₁ ⊥A ₁ C ₁ ，CC ₁ ⊥B ₁ D ₁ ，故B ₁ D ₁ ⊥平面 ACC ₁ A ₁ ，故 B ₁ D ₁ ⊥AC ₁ ．
同理可得 B ₁ C⊥AC ₁ ．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC ₁ ⊥平面CB ₁ D ₁ ，故②正确．
AC ₁ 与底面ABCD所成角的正切值为 (CC1)/(AC) = (1)/(2) ，故③不正确．
取B ₁ D ₁ 的中点M，则∠CMC ₁ 即为二面角C-B ₁ D ₁ -C ₁ 的平面角，Rt△CMC ₁ 中，tan∠CMC ₁ = (CC1)/(C1 M) = (1)/((2)/(2)) =

2

，故④正确．
由于异面直线AD与CB ₁ 成45°的二面角，如图，过A ₁ 作MN ∥ AD、PQ ∥ CB ₁ ，设MN与PQ确定平面α，∠PA ₁ M=45°，过A ₁ 在面α上方作射线A ₁ H，
则满足与MN、PQ 成70°的射线A ₁ H有4条：满足∠MA ₁ H=∠PA ₁ H=70°的有一条，满足∠PA ₁ H=∠NA ₁ H=70°的有一条，满足∠NA ₁ H=∠QA ₁ H=70°的有一条，
满足QA ₁ H=∠MA ₁ H=70°的有一条．故满足与MN、PQ 成70°的直线有4条，故过点A ₁ 与异面直线AD与CB ₁ 成70°角的直线有4条，故⑤不正确．

故答案为 ①②④．