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如图,在三棱锥中,(1)求证:平面⊥平面(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;(3)若动点M在底面三角形ABC上,二面角M-PA-C的余弦值为,求BM的最小值.
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如图,在三棱锥 ![]() ![]() (1)求证:平面 ![]() ![]() (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值; (3)若动点M在底面三角形ABC上,二面角M-PA-C的余弦值为 ![]() ![]() |
▼优质解答
答案和解析
(1)见解析 (2) ![]() ![]() |
(1)本题解决的关键是取线段AC中点O,利用等腰三角形和直角三角形的性质得OP⊥OC,OP⊥OB.由线面垂直的判定定理得OP⊥平面ABC,再由面面垂直的判定定理得平面 ![]() ![]() (2)由(1)得OB、OC、OP两两垂直,可以O为坐标原点建立空间直角坐标系,然后利用 空间向量法求出平面PBC的法向量,再根据直线与平面所成角的向量法求解即可. (3)在(2)的基础上可知平面PAC的法向量,然后再求出平面PAM的法向量, 则根据这两个法向量夹角的余弦值为为 ![]() (1)取AC中点O,因为AP=BP,所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形,∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB ∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC中,∴平面 ![]() ![]() (2) 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系. ![]() 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ![]() ∴ ![]() ![]() 由 ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 ![]() (3)由题意平面PAC的法向量 ![]() ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ![]() ∴ ![]() ![]() ∴B点到AM的最小值为垂直距离 ![]() |
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