如图,三棱锥D-ABC中,平面ABD,平面ABC均为等腰直角三角形,∠ABC=∠BAD=90°其腰BC=a且二面角D-AB-C=60°1求异面直线DA与BC所成的角2求异面直线BD与AC所成角的余弦值3求D到BC的距离4求

Question

如图,三棱锥D-ABC中,平面ABD,平面ABC均为等腰直角三角形,∠ABC=∠BAD=90°其腰BC=a
且二面角D-AB-C=60° 【1】求异面直线DA与BC所成的角【2】求异面直线BD与AC所成角的余弦值【3】求D到BC的距离【4】求异面直线BD与AC的距离

Answer 1

(1)、过A点作BC的平行线,则：DA⊥AB    ,EA⊥AB,
所以：∠DAE就是异面直线DA与BC所成的角,也是二面角D-AB-C的平面角,
所以：∠DAE=60°
即：异面直线DA与BC所成的角是60°
（2）、过B 点在平面ABC内做AC的平行线交EA的延长线于F点,则：
∠ABF就是异面直线BD与AC所成角
由已知条件求得：BF=AC=a√2,BD=a√2
在△DAF中,AD=AF=a,∠DAF=120°,所以求得DF=a√3
于是：由余弦定理求得∠DBF的余弦值为1/4
(3)、过D点作EF的垂线DG,G为垂足,过G做GH平行AB,交BC于H点,连接DH,则：
EF⊥平面DGH
而：BC∥EF
所以：BC⊥平面DGH
而：DH在平面DGH内,
所以：DH⊥BC
即：线段DH是点D到直线BC的距离.
由于△DEA是等边三角形,
所以：DG=(√3)a/2
由HG⊥平面ADE,DG在平面ADE内知：∠DGH=90°
所以：由勾股定理求得DH=(√7)a/2
即D到BC的距离为(√7)a/2
（4）过A作BD的垂线,也就是等腰直角三角形ABD的斜边上的高,就是异面直线BD与AC的距离,可求得为(√2)a/2