几何体P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中点，点E在BC上，且BE=2CE．（1）求直线DE与PC夹角θ的余弦值；（2）求直线DE与平面ABC所成角α的余弦值．

Question

几何体P-ABC中，AB=AC=3，AP=4，PA⊥面ABC，∠BAC=90°，D是PA中点，点E在BC上，且BE=2CE．
（1）求直线DE与PC夹角θ的余弦值；
（2）求直线DE与平面ABC所成角α的余弦值．

Answer 1

（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

则由已知得：D（0，0，2），E（1，2，0），
所以

DE

=（1，2，-2），

PC

=（0，3，-4），

AB

=（3，0，0），

BE

=（-2，2，0）．
所以直线DE与PC夹角θ的余弦值为：cosθ=cos＜

DE

，

PC

＞=(DE•PC)/(|DE||PC|)=(14)/(15)
（2）连接AE，则∵PA⊥面ABC，∴∠DEA为直线DE与平面ABC所成角
∵

AE

=（1，2，0），
∴直线DE与平面ABC所成角α的余弦值为cos＜

DE

，

AE

＞=(DE•AE)/(|DE||AE|)=(√(5))/(3)．