如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO＝2，AB＝2求证：（1）PA∥平面BDE（2）平面PAC⊥平面BDE（3）求二面角E-BD-A的大小．

Question

如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．PO＝√(2)，AB＝2
求证：（1）PA∥平面BDE
（2）平面PAC⊥平面BDE
（3）求二面角E-BD-A的大小．

Answer 1

证明（1）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，
又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE
（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，
而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．
（3）由（2）可知BD⊥平面PAC，∴BD⊥OE，BD⊥OC，
∠EOC是二面角E-BD-C的平面角
（∠EOA是二面角E-BD-A的平面角）
在RT△POC中，可求得OC=√(2)，PC=2
在△EOC中，OC=√(2)，CE=1，OE=(1)/(2)PA=1
∴∠EOC=45°∴∠EOA=135°，即二面角E-BD-A大小为135°．