已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1在区间（2，3）中至少有一个极值点，则a的取值范围为．

Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1在区间（2，3）中至少有一个极值点，则a的取值范围为______．

Answer 1

∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=(1)/(2)（x+(1)/(x)），
令g（x）=(1)/(2)（x+(1)/(x)），求导函数可得g′（x）=(1)/(2)（1-(1)/(x2)）
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴(5)/(4)＜(1)/(2)（x+(1)/(x)）＜(5)/(3)，
∴(5)/(4)＜a＜(5)/(3)，此时满足△＞0，
故a的取值范围是(5)/(4)＜a＜(5)/(3)．
故答案为：（(5)/(4)，(5)/(3)）．